طريقة الحذف لجاوس لحل انظمة المعادلات الخطية

حل انظمة المعادلات الخطية

يتم كتابة الصورة المصفوفية لنظام المعادلات الخطية على الصورة Ax=B ويتم ايجاد مصفوفة المعاملات والمصفوفة الممتدة ، ثم استخدام طريقة الحذف لجاوس لايجاد قيم المتغيرات وحل النظام

طريقة الحذف لجاوس Gussian ellimination عن طريق تكوين المصفوفة الممتدة للنظام من خلال نظام المعادلات الخطية

الطريقة هي عبارة عن حل الانظمة الخطية والاستغناء عن المتغيرات x,y,z من خلاص استخدام ال Augmented matrix واتباع خطوات عمليات الصف البسيطة كما في الفيديو والمثال التالي

مثال : كون المصفوفة الممتدة للنظام واستخدم طريقة الحذف لجاوس لايجاد قيم المتغيرات x, y ,z
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x+y-z=0\\3x+3y+z=12\\y-z=-1$
الحل :
المصفوفة الممتدة للنظام هي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 &0 \\ 3& 3 &1 &12 \\ 0& -1 & -1 & -1 \\\end{pmatrix}$
نستخدم عمليات الصف البسيطة للوصول الى ما نسميه الشكل الصفي المميز
نضرب الصف الاول بالعدد -3 ونضيف الناتج للصف الثاني ( دون تغيير على الصف الاول )
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 &0 \\ 0& 0 &4 &12 \\ 0& 1 & -1 & -1 \\\end{pmatrix}$
ظهر صفر في الصف الثاني فنقوم بتبديل الصفين الثاني والثالث ( نحتاج دائما ان يكون عناصر القطر الرئيسي لمصفوفة المعاملات 1)
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 &0 \\ 0& 1 &-1 &-1 \\ 0& 0 & 4 & 12 \\\end{pmatrix}$
الان نضرب الصف الثالث بالعدد 1/4
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 &0 \\ 0& 1 &-1 &-1 \\ 0& 0 & 1 & 3 \\\end{pmatrix}$
نضرب الصف الثالث بالعدد 1 ونضيفه للصف الثاني (التغيير على الصف الثاني فقط - لا تغيير على الصف الثالث )
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 &0 \\ 0& 1 &0 &2 \\ 0& 0 & 1 & 3 \\\end{pmatrix}$
ايضا نضرب الصف الثالث ب1 ونجمعه مع الصف الاول لنجعل ما فوق ال1 اصفار والوصول للشكل الصفي المميز
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 1 & 0 &3 \\ 0& 1 &0 &2 \\ 0& 0 & 1 & 3 \\\end{pmatrix}$
تبقى 1 في الصف الاول ، نضرب الصف الثاني بالعدد -1 ثم نجمع مع الصف الاول ( نغير فقط الصف الاول )
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &1 \\ 0& 1 &0 &2 \\ 0& 0 & 1 & 3 \\\end{pmatrix}$
الان المصفوفة الممتدة في حالة الشكل الصفي المميز وبالتالي تجد ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=1\\y=2\\z=3$
بامكانك التاكد من صحة حلك بالتعويض في معادلات النظام الخطي .