حل المعادلات التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات

يتم حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، ويتم شرح استراتيجية طريقة فصل المتغيرات واجراء عملية التكامل للحصول على حل المعادلة التفاضلية ، ايضا يتم التعويض بالشرط الابتدائي للحصول

Differential equations of the first order are solved using the method of separation of variable

فيديو يوتيوب حل بطريقة فصل المتغيرات

ما هي المعادلات القابلة للفصل - Separable Equations

المعادلات القابلة للفصل هي تلك المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى والتي يمكن فصل المتغير المستقل والمتغير التابع في المعادلة وبذلك نتمكن من اجراء عملية التكامل ببساطة للحصول على حل المعادلة

مثال : هل المعادلة التالية قابلة للفصل ؟ اوجد حل المعادلة
$x dy-2ydx=0$
لاحظ انه بنقل الحد الثاني للمعادلة الى الطرف الايمن واجراء عملية القسمة على x والقسمة على y نحصل على معادلة مفصولة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}$
بعد عملية فصل المتغيرات نستطيع اجراء عمليات التكامل للطرفين كما يلي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{dy}{y}=\int \frac{2dx}{x}\\$
من قوانين التكامل فان هذه الصورة مألوفة حيث ان هذا التكامل له علاقة بالوغاريتمات
$https://latex.codecogs.com/svg.image? Ln\left| y\right|=2Ln\left| x\right|+c$
يمكن اعتبار هذه الصورة حل للمعادلة التفاضلية ، وايضا يمكن ايجاد صورة اكثر اناقة وشهرة وذلك باستخدام (e)
$https://latex.codecogs.com/svg.image?e^{ Ln\left| y\right| }=e^{2Ln\left| x\right|+c }\\ e^{ Ln\left| y\right| }=e^{Ln\left| x^{2}\right|}.e^{c} \\ e^{ Ln\left| y\right| }=c_{1}.e^{Ln x^{2}}, \ \ \ \ \ \ e^{c} =c_{1}\\ y=c_{1}x^{2}$
الصورة الاخيرة هي الصورة الشهيرة لحل المعادلات القابلة للفصل

مثال: هل المعادلة التالية قابلة للفصل ثم اوجد حل المعادلة التفاضلية مستخدما الشرط الابتدائي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x(1+y)dx-ydy=0 , \ \ \ \ y(0)=-2$
الحل :
الخطوات كما المثال السابق وشرح الفيديو هي فصل للمتغيرات واجراء التكامل
$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x(1+y)dx=ydy \\2xdx=\frac{ydy}{1+y}$
تم فصل المتغيرات وذلك بخطوة بسيطة وهي القسمة على (y+1)
الان باجراء التكامل للطرفين نحصل على الحل
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int 2xdx =\int \frac{ydy}{1+y} \\2\int xdx =\int \frac{y}{1+y} dy\\2\int xdx =\int \frac{1+y-1}{1+y} dy\\ 2\int xdx =\int ( 1- \frac{ 1}{1+y}) dy\\ x^{2}=y-Ln\left|1+y \right|+c$
لا جديد من تبسيط هذا الحل ، بالامكان مباشرة التعويض بالشرط الابتدائي للحصول على قيمة الثابت
$https://latex.codecogs.com/svg.image? y(0)=-20^{2}=-2-Ln\left|-1 \right|+c, \Rightarrow c=2$
وبذلك فان حل المعادلة التفاضلية هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}=y-Ln\left|1+y \right|+2,$