طريقة فصل المتغيرات - Separation of variable

مثال ( فيديو ) على طريقة فصل المتغيرات وحل مسالة القيمة الابتدائية

يتم حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، ويتم شرح استراتيجية طريقة فصل المتغيرات واجراء عملية التكامل للحصول على حل المعادلة التفاضلية ، ايضا يتم التعويض بالشرط الابتدائي للحصول على قيمة الثابت في الحل .

Differential equations of the first order are solved using the method of separation of variable

سابقا تعرفنا على طريقة حل المعادلات التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات حيث قدمت بهذا الفيديو مسألة اخرى تتضمن شرط ابتدائي ، والشرط الابتدائي يمكننا من ايجاد ثابت التكامل .

مثال : اوجد حل مسألة القيمة الابتدائية

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}yy^{'}=e^{y}, \ \ \ \ y(0)=1$
المعادلة تتضمن شرطا ابتدائيا وبالتالي تسمى مسالة القيمة الابتدائية
يمكن كتابة المعادلة على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image? x^{2}y\frac{dy}{dx}=e^{y}, \ \ \ \ y(0)=1$
هذه الصورة اوضح لعملية الفصل التي سنقوم بها في الخطوة اللاحقة ، يممكن فصل المتغيرات في هذه المعادلة عن طريق الضرب التبادلي ( طرفين بوسطين) ثم القسمة على x^2 و القسمة على e^y كما يلي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}ydy=e^{y}dx\\\frac{ydy}{e^{y}}=\frac{dx}{x^{2}}\\ye^{-y}dy=x^{-2}dx$
الان تم فصل المتغيرات وترتيب المعادلة بصورة يمكن تكاملها ، وباجراء التكامل (استخدم التكامل بالاجراء للطرف الايسر )
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \int ye^{-y}dy =\int x^{-2}dx\\-ye^{-y}-e^{-y}=-x^{-1}+c$
ناتج التكامل هو حل المعادلة التفاضلية ، يمكن ترتيب الحل على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x(1+y)e^{-y}=1+c_{1}x$
ونجد ان الحل معطى بشكل ضمني ، نقوم بالتعويض بالشرط الابتدائي لنحصل على قيمة الثابت
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y(1)=0\\1(1+0)e^{0}=1+c_{1}\Rightarrow c_{1}=0$
وبذلك فان حل مسالة القيمة الابتدائية هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x(1+y)e^{-y}=1$

تمرين هل المعادلة قابلة للفصل ؟ اوجد حل المعادلة التفاضلية

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{'}=\frac{x^{2}}{y(1+x^{3})}$

اطلع ايضا على:

تصنيف المعادلات التفاضلية_ Classification of Ordinary Differential Equat..."

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

طريقة فصل المتغيرات - Separation of variable

مثال ( فيديو ) على طريقة فصل المتغيرات وحل مسالة القيمة الابتدائية

مثال : اوجد حل مسألة القيمة الابتدائية

تمرين هل المعادلة قابلة للفصل ؟ اوجد حل المعادلة التفاضلية

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق