المعادلة المتجانسة من الرتبة الثانية 2nd Linear Ho...

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة

في هذا الموضوع شرح بالفيديو لطريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة والخطية من الرتبة الثانية وذات المعاملات الثابتة، Second Order Linear Homogeneous Differential Equations with Constant Coefficient

فيديو يوتيوب حل معادلة متجانسة

كما جاء بالفيدو تمت دراسة معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية وخطية - Second Order Linear Homogeneous Differential Equations ومتجانسة بحيث ان طرفها الايمن يساوي الصفر
المعادلة على الصورة
$ay''+by'+cy=0$
حيث ان جميع معاملاتها ثوابت
لحل هذه المعادلة التفاضلية نكون ما تسمى بالمعادلة المساعدة - characteristic equation وهي معادلة جبرية تماثل المعادلة التفاضلية وهي على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?am^{2}+bm+c=0$
حيث ان هذه المعادلة الجبرية يوجد لها جذران ، وهذه الجذور هي مكونات الحل العام للمعادلة التفاضلية
نستطيع إيجاد جذور المعادلة الجبرية او المعادلة المساعدة باستخدام التحليل او باستخدام اكما المربع او بالقانون العام ، من المهم معرفة ان هذه المعادلة يكون لها جذور حقيقية مختلفة اذا كان المميز اكبر صفر ، اما اذا كان المميز اقل من الصفر فان الجذور تخيلية وعندما المميز يساوي الصفر يوجد جذر مكرر
نحل المعادلة الجبرية بالقانون العام مثلا حيث المميز $https://latex.codecogs.com/svg.image? b^{2}-4ac> 0$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
وبالتالي فان حلول المعادلة التفاضلية تكون على الصورة ( يوجد حلين وذلك لوجود جذرين للمعادلة المساعدة m1,m2 )
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_1=e^{m_{1}x}, \ \ \ \ and \ \ \ \ y_2=e^{m_{2}x}\\\\ y=c_{1}e^{m_{1}x}+c_{2}e^{m_{2}x}$
بالطبع هذان حلين مستقلين ويمكن التاكد من ذلك عن طريق ايجاد الرزنسكيان

مثال :اوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

$y''+4y'+3y=0$
اولا : المعادلة المساعدة characteristic equation
$https://latex.codecogs.com/svg.image?m^{2}-4m+3y=0\\$
المميز اكبرمن الصفر وبالتالي يوجد حلين او جذرين
$https://latex.codecogs.com/svg.image?(m-3)(m-1)=0\Rightarrow m_{1}=3, \ \ m_{2}=1$
وبالتالي حلول المعادلة التفاضلية ستكون على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{1}=e^{3x}\\y_{2} =e^{x}$
والحل العام
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{x}$

مثال : اوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

$https://latex.codecogs.com/svg.image?4y''+4y'+y=0\\$
المعادلة المساعدة characteristic equation
$https://latex.codecogs.com/svg.image?4m^{2}+4m+1=0\\$
المميز
$https://latex.codecogs.com/svg.image?b^{2}-4ac=16-16= 0\\$
اذن يوجد جذر واحد مكرر
$https://latex.codecogs.com/svg.image?m=-\frac{1}{2\\}y=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{x} \\y=c_{1} e^{\frac{1}{2}x}+c_{2}xe^{\frac{1}{2}x}$
لاحظ ان الحل العام عندما يكون المميز يساوي الصفر يجب ان يحتوي على x /مع الحل الثاني

اطلع ايضا على:

المعادلات الغير مضبوطة NON EXACT EQUATION"

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

المعادلة المتجانسة من الرتبة الثانية 2nd Linear Ho...

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة

فيديو يوتيوب حل معادلة متجانسة

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق