حل معادلة برنولي التفاضلية

طريقة برنولي لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى - Bernoulli's Equation

في هذا الفيديو يتم حل معادلة بيرنولي Bernoulli's Equation هي معادلة من الرتبة الأولى وغير خطية وفقا لاستراتيجية تحويلها الى معادلة خطية ومن ثم حل المعادلة الخطية باستخدام طريقة المعامل التكاملي

فيديو يوتيوب حل معادلة برنولي

ما هي معادلة برنولي ؟ Bernoulli's Equation

معادلة برنولي Bernoulli's Equation هي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى وغير خطية تنسب الى العالم السويسري جاكوب برنولي ، وللمعادلة صورة مميزة لها حيث تكون على الشكل
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{'} +p(x)y=q(x)y^{n} , \ \ \ \ n\in R$
لاحظ انه عندما قيمة n=0 فان معادلة برنولي تؤول للمعادلة التفاضلية التي قمنا بحلها باستخدام المعامل التكامل ، وبالتالي يمكننا استخدام فرض معين وتطبيقه على معادلة برنولي للوصول الى معادلة يمكن حلها باستخدام المعامل التكاملي عند اي قيمة ل n

مثال :بين ان المعادلة التفاضلية الاتية هي معادلة برنولي ثم اوجد حلها

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{2}y^{'}+2xy-y^{3}=0 , \ \ x> 0$
هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى وغير خطية ( لان المتغير المستقل مرفوع لاس اكبر من 1 )
نكتب المعادلة على الصورة التالية ( قمنا بالقسمة على معامل y وترتيب المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image? y^{'}+\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^{2}}y^{3}$
بالمقارنة مع معادلة برنولي في صورتها العامة والموضحة في التعريف ، نجد ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?p(x)=\frac{2}{x}\\q(x)=\frac{1}{x^{2}}\\n=3$
اذن المعادلة بالمثال هي معادلة برنولي حيث n=3 فنضرب اطراف المعادلة ب y مرفوع للقوة -3 فنحصل على المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{-3}y^{'}+\frac{2}{x}y^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$
استراتيجية حل معادلة برنولي هي تحويل المعادلة الى صورة اخرى تمكننا من حلها باستخدام المعامل التكاملي
نفرض ان z يساوي القيمة المضروبة ب p(x) لاحظ المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?z=y^{-2}$
باستخدام الفرض نشتق Z بالنسبة الى y
$https://latex.codecogs.com/svg.image?z^{'}=-2y^{-3}y^{'}$
نعوض ب Z والمشتقة في المعادلة السابقة لتحويلها فقط بدلالة z و x
بعد اجراء عملية التعويض وترتيب الحدود نحصل على المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?z^{'}-\frac{4}{x}z=-\frac{2}{x}$
هذه المعادلة هي معادلة يمكن حلها باستخدام المعامل التكاملي
كما تم شرحه في محاضرة سابقة فان المعامل التكاملي هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \mu =e^{\int -\frac{4}{x}dx}=e^{-4lnx}=x^{-4}$
والان بضرب جميع حدود المعادلة ب المعامل التكاملي
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{1}{x^{4}}z^{'}-\frac{4}{x^{3}}z=-\frac{2}{x^{6}}$
الطرف الايسر للمعادلة يمكن كتابته بصورة تسهل علينا عملية تكامله ، تصبح المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?(x^{-4}z)^{'}=-2x^{-6}$
والان باجراء تكامل للطرفين نحصل على ما يلي
وهذا هو عبارة عن حل المعادلة ، فقط نقوم بالتعويض عن قيمة z بدلالة الفرض
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{z}{x^{4}}=\frac{2}{5x^{5}}+c$
نقوم بالتعويض عن قيمة z فنحصل على صورة الحل
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{-2}=\frac{2+5cx^{5}}{5x}$
او
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=[\frac{ 5x}{2+5cx^{5} }]^\frac{1}{2}$

تمرين : اثبت ان المعادلة التالية هي معادلة برنولي ثم اوجد حلا لها

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2^{3}y^{'}=y(y^{2+3x^{2}})$

اطلع ايضا على:

طريقة المعامل التكاملي مثال 1"

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

حل معادلة برنولي التفاضلية - Bernoulli's Equation

طريقة برنولي لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى - Bernoulli's Equation

فيديو يوتيوب حل معادلة برنولي

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق