حل المعادلات التفاضلية باستخدام المعامل التكاملي

طريقة حل المعادلات التفاضلية باستخدام المعامل التكاملي - Integrating Factor

من طرق حل المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الاولى والخطية هي طريقة المعامل التكاملي-integrating factor ، في هذه الطريقة يتم ايجاد المعامل التكاملي بصيغة وحيدة ومحددة ومن ثم ضرب هذا المعامل في كل حد من حدود المعادلة التفاضلية للحصول على صيغة لمعادلة قابلة للتكامل وايجاد الحل
Solution of linear differential equation by using interating facor

فيديو يوتيوب حل معادلة من الرتبة الاولى بالمعامل التكاملي

ما هي طريقة المعامل التكاملي - integrating Factor ؟

اذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الاولى على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image? y^{'}+g(x)y=h(x)$
حيث ان g(x) ثابت او اقتران (معامل y)، والاقتران h(x) اي اقتران في x ، فان حل هذه المعادلة يكون باستخدام طريقة المعامل التكاملي وهي طريقة يتم فيها ضرب المعامل التكاملي في حدود المعادلة للحصول على معادلة قابلة للتكامل ، والمعامل التكاملي يكتب على الصورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\mu =e^{\int g(x)dx}$

مثال : اوجد حل لمسالة القيمة الابتدائية التالية مستخدما المعامل التكاملي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{'}+\frac{2}{x}y=\frac{cosx}{x^{2}}, \ \ \ y(\pi )=0$
الحل :
بمقارنة صيغة المعادلة في المثال مع صيغة المعادلة التفاضلية في التعريف السابق نجد ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?g(x)=\frac{2}{x}\\\\h(x)=\frac{cosx}{x^{2}}$
الان نقوم بايجاد المعامل التكاملي كما في التعريف
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \mu =e^{\int g(x) dx}=e^{\int \frac{2}{x}dx}$
وباجراء التكامل
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \mu =e^{2lnx }=e^{lnx^{2}}=x^{2}$
وبضرب المعامل التكاملي بحدود المعادلة نحصل على
$https://latex.codecogs.com/svg.image? x^{2}y^{'}+x^{2}\frac{2}{x}y=x^{2}\frac{cosx}{x^{2}}\\ x^{2}y^{'}+2xy=cosx\\$
الطرف الايسر في هذه المعادلة هو عبارة عن مشتقة الحد الاول منه ، نكتب المعادلة على الصورة التالية
$https://latex.codecogs.com/svg.image? (x^{2}y)^{'}=cosx\\$
باجراء تكامل للطرفين ، تكامل الطرف الأيمن هو تكامل مشتقة وبالتالي
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \int (x^{2}y)^{'}dx=\int cosx dx\\x^{2}y=sinx+c$
بالقسمة على معامل y للحصول على الحل في ابسط صورة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{1}{x^{2} }(sin x +c)$
الان نستخدم الشرط الابتدائي لايجاد قيمة الثابت
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y(\pi )=0\\0=\frac{1}{\pi ^{2} }(sin \pi +c)\\0=c$
اذن حل المعادلة التفاضلية هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y=\frac{sinx}{x^{2}}$

تمرين : اوجد حل المعادلة التفاضلية التالية باستخدام طريقة المعامل التكاملي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{'}+\frac{1}{x}y=3cosx$

اطلع ايضا على:

مثال 1 حل المعادلة المتجانسة"

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

حل المعادلات التفاضلية باستخدام المعامل التكاملي - Integrating Factor

طريقة حل المعادلات التفاضلية باستخدام المعامل التكاملي - Integrating Factor

فيديو يوتيوب حل معادلة من الرتبة الاولى بالمعامل التكاملي

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق