المعادلة المتجانسة - Homogeneous Differential Equation

طريقة حل المعادلات المتجانسة - homogeneous differential equation

في الفيديو يتم شرح تصنيف المعادلة التفاضلية من كونها متجانسة او غير متجانسة ، ويتم شرح طريقة حل المعادلات من النوع homogeneous differential equation حيث ان هذه المعادلات تكون غير قابلة للفصل وبالتالي لا يمكن حلها بطريقة فصل المتغيرات .

فيديو يوتيوب حل معادلة متجانسة

ما هي المعادلة المتجانسة - homogeneous differential equation

الاقتران f(x,y) يسمى اقتران متجانس اذا حقق الشرط التالي
$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}f(x,y)$

مثال : هل الاقتران الاتي اقتران متجانس وما هي درجته ؟

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x,y)=x^{4}+6y^{4}\\\Rightarrow \\ f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x)^{4}+6(\lambda y)^{4} \\=\lambda ^{4}x^{4}+6\lambda ^{4}y^{4}\\=\lambda ^{4}(x^{4}+6y^{4})\\ =\lambda^{4}f(x,y)$
وبالتالي فان الاقتران هو اقتران متجانس من الدرجة الرابعة

مثال : اثبت ان الاقتران متجانس من الدرجة صفر

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\\Rightarrow \\ f(\lambda x,\lambda y)= \frac{\lambda x}{\sqrt{(\lambda x^{2})+(\lambda y^{2})}} \\= \frac{\lambda x}{\sqrt{\lambda^2 (x^{2})+\lambda^2 (y^{2})}} \\= \frac{\lambda x}{\lambda \sqrt{x^{2}+ y^{2}}} \\= \frac{ x}{ \sqrt{x^{2}+ y^{2}}} \\=\lambda ^0 f(x,y)$
اذن الاقتران متجانس ومن الدرجة صفر
اذا كا ن الاقتران f(x,y) اقتران متجانس من الدرجة صفر فتسمى المعادلة التفاضلية متجانسة

طريقة حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

ذكرت فيما سبق ان المعادلة التفاضلية المتجانسة هي معادلة غير قابلة للفصل ، وبالتالي لحل مثل هذه المعادلات نلجأ لفرض وهو فرض واحد في كل المعادلات المتجانسة ، هذا الفرض يمكننا في تحويل المعادلة المتجانسة الى معادلة قابلة للفصل .
تابع المثال التالي :

مثال : اثبت ان المعادلة التالية متجانسة ثم اوجد حلها

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{xy}\\$
اولا : لاثبات ان المعادلة متجانسة يجب ان نثبت ان الطرف الايمن من المعادلة بانه متجانس من الدرجة صفر .
نساوي الطرف الايمن بالاقتران f(x,y) وبذلك يكون
$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x,y)=\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{xy}\\\Rightarrow \\ f(\lambda x,\lambda y)= \frac{\lambda ^{2}x^{2}-\lambda ^{2}xy+\lambda ^{2}y^{2}}{\lambda ^{2}xy}\\ =\lambda ^0 f(x,y)$
اذن المعادلة التفاضلية هي معادلة متجانسة
ثانيا : حل المعادلة التفاضلية المتجانسة
نستخدم الفرض y=vx ,k لتحويل المعادلة المتجانسة الى معادلة قابلة للفصل كما يلي
$https://latex.codecogs.com/svg.image? y=vx\\\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$
" لايجاد المشتقة استخدمنا قانون الاشتقاق ، مشتقة الاول ×الثاني + مشتقة الثاني ×الاول "
نقوم بالتعويض في المعادلة التفاضلية بالفرض والمشتقة عن كل قيمة ل y بالقيمة vx ، اي نريد المعادلة فقط بمتغيرين هما v و x
$https://latex.codecogs.com/svg.image?v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x^{2}-x^{2}v+v^{2}x}{x^{2}v}$
بترتيب الحدود والاختصار بعد اخذ العوامل المشتركة نحصل على
$https://latex.codecogs.com/svg.image?v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v+v^{2}}{v}$
ننقل v من الطرف الايسر الى الطرف الايمن ونرتب المعادلة لنحصل على
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v+v^{2}}{v}-v\\x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v}{v}\\$
الان حصلنا على معادلة قابلة للفصل
بفصل المتغيرات نحصل على المعادلة التالية
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v}{v}\\ \frac{dx}{x}=\frac{v}{1-v} dv\\ \frac{dx}{x}-\frac{v}{1-v} dv=0\\ \frac{dx}{x}+\frac{v}{v-1} dv=0\\$
اصبحت المعادلة مفصولة وبالتالي يمكن اجراء التكامل للحصول على الحل كما يلي
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \int \frac{dx}{x} +\int \frac{v}{v-1} dv =c\\ \int \frac{dx}{x} +\int v dv +\int \frac{dv}{v-1} =c\\\\\Rightarrow \\ ln\left|x \right|+v+ln\left|v-1 \right|=lnc$
هذه النتيجة هي حل المعادلة التفاضلية بالمتغيرات x ,v ولايجاد حل المعادلة التفاضلية الاساسية نقوم مرة اخرى باستخدام الفرض لايجاد الحل بدلالة x,y
سنقوم باستبدال كل قيمة ل v ب y/x (من الفرض)
لنحصل على
$https://latex.codecogs.com/svg.image? ln\left|x \right|+\frac{y}{x}+ln\left|\frac{y}{x}-1 \right|=lnc \\ ln[x(\frac{y}{x}-1)]-lnc=-\frac{y}{x}\\ln[\frac{x(\frac{y}{x}-1)}{c}]-\frac{y}{x} \\\frac{x(\frac{y}{x}-1)}{c}=e^{\frac{y}{x} }\\x(\frac{y}{x}-1)e^{\frac{y}{x}}=c \\$
تمرين : اثبت ان المعادلة التفاضلية التالية متجانسة ثم اوجد حلها باستخدام الفرض y=vx
$https://latex.codecogs.com/svg.image?y^{'}=\frac{4x^{2}+7xy+2y^{2}}{x^{2}$

اطلع ايضا على:

مثال1 على طريقة فصل المتغيرات"

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

المعادلة المتجانسة - Homogeneous Differential Equation

طريقة حل المعادلات المتجانسة - homogeneous differential equation

فيديو يوتيوب حل معادلة متجانسة

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق