طريقة حل المعادلات المضبوطة EXACT EQUATION

طريقة حل المعادلات التفاضلية المضبوطة - EXACT EQUATION

في هذا الفيديو يتم التعرف على المعادلات المضبوطة - EXACT EQUATION ، المعادلة المضبوطة هي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى وتحقق شرط معين لكونها مضبوطة ، في الفيديو نتعرف على طريقة حل هذه المعادلات

فيديو يوتيوب حل معادلة مضبوطة

ما هي المعادلة التفاضلية المضبوطة ؟ Exact Equation

اذا كانت المعادلة على الصورة
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
بحيث ان
مشتقة M بالنسبة الى x تساوي مشتقة N بالنسبة الى y
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial y}$
عندها نقول ان المعادلة التفاضلية مضبوطة
ملاحظة : لا حظ ان M هي معامل dx و N هو معامل dy

مثال : هل المعادلة التالية مضبوطة Exact Equation ؟

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3x(xy-2)dx+(x^{3}+2y)dy=0$
بمقارنة هذه المعادلة من الشكل العام للمعادلة المضبوطة نجد ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?M(x,y)= 3x(xy-2)=3x^{2}y-6x\\N(x,y)= x^{3}+2y$
باشتقاق M جزئيا بالنسبة ل x و اشتقاق N جزئيا بالنسبة ل y
نجد ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial M}{\partial y}= 3x^{2}\\\frac{\partial N}{\partial x}= 3x^{2}\\$
اذن
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
وبالتالي فان المعادلة مضبوطة Exact

مثال : اوجد حل المعادلة المضبوطة

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3x(xy-2)dx+(x^{3}+2y)dy=0$
من السهل ان نتأكد بان المعادلة مضبوطة كما ورد في المثال السابق
ولحل هذه المعادلة نتبع هذه الاستراتيجية للحل
نحدد M(x,y) و N(x,y) من المعادلة
$https://latex.codecogs.com/svg.image?M(x,y)= 3x(xy-2)=3x^{2}y-6x\\N(x,y)= x^{3}+2y$
ثم نفرض ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image?F_{x}(x,y)=M(x,y), \ \ \ F_{y}(x,y)=N(x,y) \ \ \$
نأخذ الشق الاول
$https://latex.codecogs.com/svg.image?F_x(x,y)=M=3x^{2}y-6x$
نكامل بالنسبة ل x فنحصل على (لان الاشتقاق جزئي فان ثابت التكامل هو دالة في x)
$https://latex.codecogs.com/svg.image?F(x,y) =x^{3}y-3x^{2}+A(x)$
هذا هو حل المعادلة المضبوطة ، ولكن تبقى تعيين قيمة الثابت A
لتعيين قيمة A
نشتق هذا المقدار بالنسبة ل y ، نحصل على
$https://latex.codecogs.com/svg.image?F_y(x,y) =x^{3}+A^{'}(x)$
والان نساوي الناتج بالشق الثاني من معادلة الفرض
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{3}+A^{'}(x)=N(x,y)=x^{3}+2y$
بالمقارنة يمكن الحصول على مشتقة الاقتران A وبالتكامل يمكن الحصول على A
$https://latex.codecogs.com/svg.image? A^{'}(y)=2y\Rightarrow \ \ \ A(y)=y^{2}$
اذن حل المعادلة المضبوطة هو
$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{3}y-3x^{2}+y^{2}=c$

تمرين : اثبت ان المعادلة التالية معادلة مضبوطة - Exact Equation ثم اوجد حلا للمعادلة

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(3x^{2}-2xy+2) dx+(6y^{2}-x^{2}+3)dy=0$

اطلع ايضا على:

معادلة برنولي (حل معادلات تفاضلية من الرتبة الاولى)"

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

طريقة حل المعادلات المضبوطة EXACT EQUATION

طريقة حل المعادلات التفاضلية المضبوطة - EXACT EQUATION

فيديو يوتيوب حل معادلة مضبوطة

أخر المواضيع من قسم : معادلات تفاضلية

تعليقات

إرسال تعليق