ملزمة الاوائل في الفيزياء للصف 12 العلمي للعام 2023-2024

  Linear Combination

Example (1)

Is (b) alinear combination of x1,x2,x3

$$x_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right],x_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right],x_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\end{array}\right],and,b=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

Solution

يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية عندما يتحقق ما يلي ( حيث الفا معاملات لا تساوي جميعها الصفر)

$$\Rightarrow {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3=b?$$

 (المصفوفة الممتدة) augmented matrix is

نقوم بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام والتي تتكون اعمدتها من معاملات المتجهات x1,x2,x3 ,b ثم نقوم باجراء عمليات الصف البسيطة (reduced row echelon form)

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 3& 1\\ 2& 5& 7& 2\\ 4& 1& 5& 5\end{array}\right]\stackrel{rrf}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& \end{array}\right]$$

b is Not alinear combination of x1,x2,x3

لا يمكن ان يكون للنظام حل كما ترى في المصفوفة الاخيرة بعد اجراء عمليات الصف البسيطة  فان الصف الاخير يعطي 0=1 وهذا تناقض ، نستنتج انه لا يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية بالمتجهات x1,x2,x3 ( لمراجعة موضوع عمليات الصف البسيطة انظر الرابط بالاسفل)

وبهذا يكون b لاينتمي الى المجموعة المولدة للمتجهات x1,x2,x3

 $$b\notin span\left\{\begin{array}{ccc}{x}_1,& x_2& x_3\end{array}\right\}$$

Example (2)

Is (b) alinear combination of x1,x2,x3

$$x_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 4\end{array}\right],x_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right],x_3=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right],and,b=\left[\begin{array}{c}-7\\ -15\\ 6\end{array}\right]$$

Solution

يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية عندما يتحقق ما يلي 

$$\Rightarrow {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3=b?$$

 (المصفوفة الممتدة) augmented matrix is

نقوم بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام والتي تتكون اعمدتها من معاملات المتجهات x1,x2,x3 ,b ثم نقوم باجراء عمليات الصف البسيطة (reduced row echelon form)

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 2& -7\\ 2& 5& -4& -15\\ 4& 1& 1& 6\end{array}\right]\stackrel{rrf}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& -3\\ 0& 0& 1& 1& \end{array}\right]$$ $$\Rightarrow {\alpha }_1=2,{\alpha }_2=-3,{\alpha }_3=1$$

b is  alinear combination of x1,x2,x3

يكون للنظام حل  ، نستنتج انه  يمكن كتابة b على صورة تركيبة خطية بالمتجهات x1,x2,x3 

$$2x_1-3x_2+x_3=b$$

وبهذا يكون b ينتمي الى المجموعة المولدة للمتجهات x1,x2,x3

 $$b\in span\left\{\begin{array}{ccc}{x}_1,& x_2& x_3\end{array}\right\}$$

اطلع ايضا على:

• عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة "