Asystem of Linear equations

شروط الحل لأنظمة المعادلات الخطية - Asystem of Linear equations

ما هو نظام المعادلات الخطية؟

يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين او اكثر من المعادلات الخطية ، والمعادلة الخطية هي معادلة في متغير او اكثر بحيث يكون اعلى اس للمتغيرات هو الواحد ولا يوجد عمليات ضرب بين المتغيرات او دوال مثلثية او لوغاريتمية او اسية .

مثال : هل نظام المعادلات التالي خطي ؟

$2 x^{2} + 6 y + z = 2, x + 2 y + \sqrt{z} = 1, x + y + 3 z = 5$ النظام يتكون من معادلتين غير خطيتين وبالتالي فان النظام غير خطي

بينما النظام التالي هو نظام خطي لان كل معادلاته خطية

$2 x + 6 y + z = 2, x + 2 y + z = 1, x + y + 3 z = 5$ الأنظمة الخطية المتجانسة والغير متجانسة - Homogeneous and Non-Homogeneous systems

اذا كانت المعادلات المكونة للنظام الخطي على الصورة

$a x + b y + c z = 0$ فان النظام يسمى نظام متجانس ، اما اذا كان الطرف الأيمن عدد غير الصفر فالنظام غير متجانس

مثال : هل النظام التالي متجانس $2 x + y = 3, 3 x + 2 y + z = 0, x + 5 z = 7$

نلاحظ ان الطرف الايسر للمعادلات ليس جميعها اصفار وبالتالي فالنظام غير متجانس

حلول النظام الخطي :

للنظام الخطي عدد لا نهائي infinitely many solution من الحلول او حل وحيد unique solution او ليس له حل no solution حسب شروط معينة كما في المثال التالي

مثال : اوجد قيم الثابت r في النظام الخطي التالي التي تجعل للنظام(Find the value of constant in the system of equation) $r x + y = r^{2}, x + r y = 1$ اولا : عدد لا نهائي من الحلول (infinitely many solution)

نكتب نظام المعادلات على الصورة القياسية $r x + y - r^{2} = 0, x + r y - 1 = 0$ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ المعادلة السابقة هو الشرط اللازم ليكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول ، نقوم بالتعويض من نظام المعادلات $\frac{r}{1} = \frac{1}{r} = \frac{r^{2}}{1}$ $r^{2} = 1 \Rightarrow r = \pm 1$ $r^{3} = 1 \Rightarrow r = + 1$ ثانيا :حل وحيد (unique solution) $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ $\frac{r}{1} \neq \frac{1}{r}$ $\frac{r}{1} \neq \frac{1}{r}$ $r^{2} \neq 1 \Rightarrow r \neq \pm 1$ ثالثا : لا يوجد حل (no solution)

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{r}{1} = \frac{1}{r} \neq \frac{r^{2}}{1}$ $\frac{r}{1} = \frac{1}{r}$ $r^{2} = 1 \Rightarrow r = \pm 1$ $r^{3} \neq 1 \Rightarrow r = - 1$