شروط الحل لأنظمة المعادلات الخطية - Asystem of Linear equations
ما هو نظام المعادلات الخطية؟
يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين او اكثر من المعادلات الخطية ، والمعادلة الخطية هي معادلة في متغير او اكثر بحيث يكون اعلى اس للمتغيرات هو الواحد ولا يوجد عمليات ضرب بين المتغيرات او دوال مثلثية او لوغاريتمية او اسية .
مثال : هل نظام المعادلات التالي خطي ؟
$$ 2x^{2}+6y+z=2, \ \ \ x+2y+\sqrt{z}=1, \ \ \ x+y+3z=5 $$ النظام يتكون من معادلتين غير خطيتين وبالتالي فان النظام غير خطي
بينما النظام التالي هو نظام خطي لان كل معادلاته خطية
$$ 2x+6y+z=2, \ \ x+2y+z=1, \ \ x+y+3z=5 $$ الأنظمة الخطية المتجانسة والغير متجانسة - Homogeneous and Non-Homogeneous systems
اذا كانت المعادلات المكونة للنظام الخطي على الصورة
$$ ax+by+cz=0 $$ فان النظام يسمى نظام متجانس ، اما اذا كان الطرف الأيمن عدد غير الصفر فالنظام غير متجانس
مثال : هل النظام التالي متجانس $$ 2x+y=3, \ \ \ 3x+2y+z=0, \ \ \ x+5z=7 \\$$
نلاحظ ان الطرف الايسر للمعادلات ليس جميعها اصفار وبالتالي فالنظام غير متجانس
حلول النظام الخطي :
للنظام الخطي عدد لا نهائي infinitely many solution من الحلول او حل وحيد unique solution او ليس له حل no solution حسب شروط معينة كما في المثال التالي
مثال : اوجد قيم الثابت r في النظام الخطي التالي التي تجعل للنظام(Find the value of constant in the system of equation) $$ rx+y=r^2, \ \ \ x+ry=1 \\$$ اولا : عدد لا نهائي من الحلول (infinitely many solution)
نكتب نظام المعادلات على الصورة القياسية $$ rx+y-r^2=0, \ \ \ x+ry-1=0 \\$$$$\frac{a_1} {a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} $$ المعادلة السابقة هو الشرط اللازم ليكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول ، نقوم بالتعويض من نظام المعادلات $$\frac{r}{1}=\frac{1}{r} =\frac{r^2}{1} $$$$r^2=1\Rightarrow r=\pm 1$$$$r^3=1\Rightarrow r=+ 1 $$ ثانيا :حل وحيد (unique solution) $$\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2} $$ $$\frac{r}{1}\neq\frac{1}{r} $$ $$\frac{r}{1}\neq\frac{1}{r} $$ $$r^2\neq1\Rightarrow r\neq\pm 1 $$ ثالثا : لا يوجد حل (no solution)
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$$$\frac{r}{1}=\frac{1}{r} \neq \frac{r^2}{1} $$$$\frac{r}{1}=\frac{1}{r} $$$$r^2=1\Rightarrow r=\pm 1 $$$$r^3 \neq 1\Rightarrow r=- 1 $$
فيديو يوتيوب توضيحي لطريقة حل انظمة المعادلات الخطية
تعليقات
إرسال تعليق