ملزمة الاوائل في الفيزياء للصف 12 العلمي للعام 2023-2024

Finding the characterestic polynomial of the matrix and eginvalues

Example (1)

Consider the matrix A $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$  Find the Characteristic Polynomial 3x3 Matrices and eigin values 

Solution

 المعادلة المساعدة (  Characteristic equation ) حيث I هي مصفوفة الوحدة   $$|A-\lambda I|=0$$ 

اقرا ايضاامتحان شهادة الدراسة الثانوية لمبحث الرياضيات - علمي للعام 2023 - الورقة الثانية

اقرا ايضاتحميل امتحان شهادة الدراسة الثانوية لمبحث الرياضيات للعام 2023 - الورقة الاولى

اقرا ايضانصائح للاستعداد للامتحان وكيفية التعامل مع ورقة الاسئلة

اقرا ايضاتحميل امتحان شهادة الدراسة الثانوية لمبحث الفيزياء - علمي للعام 2022

 والقيم المميزة هي تلك القيم التي تحقق المعادلة المساعدة ويكون للمصفوفة قيم مميزة اذا كان ناتج حل محدد المعادلة المساعدة قيم حقيقية ، واذا كانت الجذور لمحدد المعادلة المساعدة جذور تخيلية فلا يوجد قيم مميزة للمصفوفة ، الخطوة القادمة هي عملية تعويض بالمعادلة السابقة  ، ثم اجراء عملية ضرب الثابت لمدا في مصفوفة الوحدة      $$det[\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)]=0$$ باجراء عملية الطرح ينتج ان    $$det\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0& 0\\ 0& -2-\lambda & 0\\ 0& 0& 3-\lambda \end{array}\right)=0$$ بفك المحدد باستخدام الصف الاول او نستخدم خواص المحددات ( المحدد الناتج هو محدد لمصفوفة قطرية وبالتالي محددها هي عبارة عن حاصل ضرب قطرها الرئيس )    $$(1-\lambda )\left|\begin{array}{cc}-2-\lambda & 0\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right|-0+0=0$$ ينتج لدينا معادلة من الدرجة الثالثة كما بالمعادلة   $$(1-\lambda )(-2-\lambda )(3-\lambda )=0$$ يوجد للمصفوفة قيم مميزة لان القيم الناتجة عن المعادلة المساعدة اعداد حقيقية   $${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=3$$

Example (2)

Consider the matrix A $$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$$  Find the Characteristic Polynomial 2x2 Matrices and eigin values 

Solution

 المعادلة المساعدة (  Characteristic equation )   $$|A-\lambda I|=0$$ 

بالتعويض بالمعادلة السابقة  ، ثم اجراء عملية ضرب الثابت لمدا في مصفوفة الوحدة      $$det[\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)]=0$$ باجراء عملية الطرح ينتج ان    $$det\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & -2\\ 1& -1-\lambda \end{array}\right)=0$$ بفك المحدد  ينتج لدينا معادلة من الدرجة الثانية كما بالمعادلة   $${\lambda }^2+1=0$$

لا يوجد للمعادلة جذور حقيقية وبالتالي لا يوجد قيم مميزة  

اطلع ايضا على:

• عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة "