الاعداد المركبة ونظرية ديموفر

الاعداد المركبة - Complex Numbers

تعريف العدد المركب : هو العدد الذي يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي ويكون على الصورة

$z=a+ib$

حيث ان $https://latex.codecogs.com/svg.image?i=\sqrt{-1}$

وبالتالي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?i^{2}=i\times i=1, i^{3}=i^{2}\times i=-1, i^{4}=i^{3}\times i=-i,.........$

مثال : اوجد ما يلي

: $https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Blue} \imath ^{100}=\imath ^{(2)^{50}}=-1^{50}=1}\\{\color{Blue} \imath ^{41}=\imath^{40}\times i=i^{(2)^{20}}\times i=1\times i=i }$

مرافق العدد المركب ينتج بتغيير اشارة الجزء التخيلي فقط ويكون على الصورة

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\overline{Z}=\overline{a+ib}=a-ib$

تساوي عددين مركبين : يتساوى عددين مركبين اذا تساوى الجزء الحقيقي مع الحقيقي والجزء التخيلي مع التخيلي

مثال :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Blue} 5+2i= x+yi, \Rightarrow x=5,y=2}$

جمع عددين مركبين : نجمع الجزء التخيلي مع التخيلي والحقيقي مع الحقيقي

مثال :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?z=2+3i,\ w=-2+2i,\ \Rightarrow \ z+w=0+5i$

ضرب عددين مركبين : (قاعد الضرب)

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}{\color{Blue} {\color{Blue} z_{1}z_{2}=(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2}) =a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}+i^{2}b_{1}b_{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ i^{2}=-1}}$

عملية ضرب الاعداد المركبة

مثال : اوجد ناتج الضرب للعديين المركبين

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Blue} z=2+3i,\ w=-2+2i,\\}\\ {\color{Blue} \Rightarrow \ zw=(2+3i) (-2+2i)}\\{\color{Blue} =2\times -2+2\times 2i+3i\times -2+3i\times 2i=-4+4i-6i+6i^{2}}\\{\color{Blue} =-4-2i-6=-10-2i}$

قسمة عددين مركبين (قاعدة القسمة ، نضرب ونقسم بمرافق المقام)

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}{\color{Blue} \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}=\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}} \times \frac{a_{2}-ib_{2}}{a_{2}-ib_{2}} }$ :

مثال : اوجد ناتج قسمة العددين المركبين

$https://latex.codecogs.com/svg.image? {\color{Blue} z=2+3i,\ w=-2+2i,}\\{\color{Blue} \Rightarrow \ \frac{z}{w}=\frac{(2+3i)}{(-2+2i) } \times \frac{(-2-3i)}{(-2-3i)}} \\{\color{Blue} =\frac{-4-6i-6i-9i^{2} }{4+6}}\\ ={\color{Blue} \frac{5-12i}{10}=\frac{1}{2}-\frac{6}{5}i}$

صيغة العدد المركب في الاحداثيات القطبية :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?z=r(co\theta +irsin\theta ) ,\ x=rcos\theta ,\ y=rsin\theta , \ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}{\color{Blue} }$

مستوى ارجاند ( تحويل الى الاحداثيات القطبية)

مثال : اوجد العدد المركب بالصيغة القطبية

$https://latex.codecogs.com/svg.image?z=1+i\\x=2,y=1\Rightarrow r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\\x= rcos\theta \Rightarrow cos\theta =\frac{x}{r} \\cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta =\frac{\pi }{4}$

وبالتالي فان الصورة القطبية هي كما يلي (لاحظ الزاوية تقع بالربع الاول )

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Blue} z=r(cos\theta +isin\theta )=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})}$

نظرية ديموفر De Moivre’s Theorem

$https://latex.codecogs.com/svg.image?{\color{Blue} z^{p}=r(cosp\theta +isinp\theta )},\ p\in \mathbb{R}$

مثال : اوجد الصورة القطبية وحقق نظرية ديموفر

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}{\color{Blue} z=2-2\sqrt{3}i}\\{\color{Blue} r=4}\\{\color{Blue} \theta =tan^{-1} \sqrt{3}=60^{\circ }} \\{\color{Blue} \theta =360-60=300^{\circ } =\frac{5\pi }{3}}$

الزاوية تقع في الربع الرابع ولذلك نطرح زاوية الاسناد 60 من 360 ، والصيغة القطبية هي

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}{\color{Blue} z=4(cos\frac{5\pi }{3}-sin\frac{5\pi }{3} )} \\{\color{Blue} z^{100}=4^{100}(cos\frac{500\pi }{3}-sin\frac{500\pi }{3} ) }$

اطلع ايضا على:

الصورة القياسية لمعادلة الدائرة (1) -Circle Equation "

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

الاعداد المركبة ونظرية ديموفر - De Moivre’s Theorem

الاعداد المركبة - Complex Numbers

صيغة العدد المركب في الاحداثيات القطبية :

أخر المواضيع من قسم : الهندسة الاحداثية

تعليقات

إرسال تعليق