How to find Fourier series (متسلسلة فورييه -1)

ايجاد متسلسلة فورييه عندما الاقتران زوجي - Find Fourier series

اوجد متسلسلة فورييه للاقتران التالي - Find Fourier series of

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=\left\{\begin{matrix}\pi +x & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\pi < x< 0\\\pi -x & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0< x < \pi \\\end{matrix}\right.$

اثبات هل الدالة زوجية ام فردية - proving f(x) even or odd

الاقتران متعدد القاعدة ( من القاعدة الاولى بالتعويض عن قيمة x ب -x ) لاختبار الاقتران فردي ام زوجي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\f(x)=\pi +x \ \ \ \ -\pi < x< 0 \ \ ..........(1a)\\at \ \ x=-x\\f(-x)= \pi +(-x)\ \ \ \ -\pi < -x< 0\\ \Rightarrow \\f(-x)= \pi -x\ \ \ \ 0 < x< \pi \ \ ..........(1b)\\$

من القاعدة الثانية نعوض عن كل x ب -x كما يلي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\f(x)=\pi -x \ \ \ \ 0 < x< \pi \ \ ..............(2a)\\at \ \ x=-x\\f(-x)= \pi -(-x)\ \ \ \ 0 < -x< \pi \\ \Rightarrow \\f(-x)= \pi +x\ \ \ \ -\pi < x< 0 \ \ ..........(2b)\\$

لاحظ الاقترانات وحدود الفترة المعرفة عليها تجد ان

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\\Rightarrow \\f(x)=f(-x) , \ \ \ \ \ \ \ \$

وبالتالي الاقتران زوجي - even function

صيغة متسلسلة فورييه - fourier series formula

$https://latex.codecogs.com/svg.image? f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }a_ncos\frac{n\pi x}{l}+\sum_{n=1}^{\infty }b_nsin\frac{n\pi x}{l}$

حيث ان المعاملات هي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ a_0=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx \ \ \ \ \ \ n> 0\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \ \ \ \ \ \ n> 0\\$

بما ان الاقتران زوجي فان $b_n=0$
نحسب قيمة العامل $https://latex.codecogs.com/svg.image?a_{0}=0$ عن طريق التعويض بالاقتران وحيث ان ( $https://latex.codecogs.com/svg.image?l=\pi$ )

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ a_0=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)dx\\ =\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)dx\\ =\frac{2}{2\pi }\int_{0 }^{\pi }f(x)dx\\ =\frac{1}{\pi }\int_{0 }^{\pi }(\pi -x)dx\\$

باجراء التكامل والتعويض عن حدود التكامل من 0 الى مالانهاية نحصل على قيمة العامل $https://latex.codecogs.com/svg.image?a_{0}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ =\frac{1}{\pi } [\pi x-\frac{x^2}{2}]_{0}^{\pi }\\=\frac{1}{\pi } [\pi^2-\frac{\pi^2}{2}]_{0}^{\pi }\\\\=\frac{\pi}{2}$

نحسب قيمة العامل $https://latex.codecogs.com/svg.image?a_{n}=0$ عن طريق التعويض بالاقتران كما يلي

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)cos\frac{n\pi x}{\pi }dx \ \ \ \ \ \ n> 0\\ =\frac{2}{\pi }\int_{0 }^{\pi }(\pi -x) \ cosnx \ dx\\ =\frac{2}{\pi }\int_{0 }^{\pi }\pi \ cosnx \ dx-\frac{2}{\pi }\int_{0 }^{\pi } x \ cosnx \ dx\\ =2\int_{0 }^{\pi } cosnx \ dx-\frac{2}{\pi }\int_{0 }^{\pi } x \ cosnx \ dx$

في الخطوات السابقة قمنا بتوزيع التكامل ، وباجراء عمليات التكامل بالاجزاء نحصل على ما يلي (مثبتة بالنهاية)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\=2 \left [ sin\frac{nx}{n} \right ]_{0}^{\pi }-\frac{2}{\pi } \left [ xsin\frac{nx}{n} |_{0}^{\pi }-1.(-cos\frac{nx}{n^{2}})|_{0}^{\pi } \right ]$

لاحظ ان قيمة الحد الاول والحد الثاني متساويين وبالتالي يتم الاختصار ، يتبقى الجزء الاخير من المعادلة ونعوض عن حدود التكامل من صفر الى المالانهاية لنحصل على

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\=-\frac{2}{\pi }.(cos\frac{nx}{n^{2}})|_{0}^{\pi } \\=-\frac{2}{\pi }.(cos\frac{n\pi }{n^{2}}-\frac{cos0}{n^{2}}) \\\\ =-\frac{2}{\pi }.(cos\frac{n\pi -1}{n^{2}})$

هذا المقدار له قيمة عندما قيمة n زوجية وقيمة عندما n فردية كما يلي

$https://latex.codecogs.com/svg.image? a_n=\left\{\begin{matrix} 0& \ \ \ n\ \ even\\\frac{4}{\pi n^{2}} & \ \ \ n\ \ odd \\\end{matrix}\right.$

قمنا بايجاد المعاملات ، نقوم بالتعويض في صورة متسلسلة فورييه مع العلم ان الاقتران زوجي ان ان الحد b يساوي صفر

$https://latex.codecogs.com/svg.image? f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }a_ncos\frac{n\pi x}{l}+0$

بالتعويض نحصل على الصورة

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\f(x)=\frac{\pi }{2}+\sum_{n \ odd}^{ }\frac{4}{\pi n^{2}} cosnx\\ =\frac{\pi }{2}+\frac{4}{\pi }\sum_{n \ odd}^{ } cos\frac{nx}{n^{2}}\\$

يمكن كتابة هذه الصورة في صورة مفكوك متسلسلة فورييه عن طريق التعويض بالارقام الفردية (لان القيم الزوجية تعطي صفر) كما يلي

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\f(x)=\frac{\pi }{2}+ \frac{4}{\pi }\left [ cosx+\frac{cos3x}{3^{2}} +......\right ]$

هذه الصورة هي مفكوك متسلسلة فورييه للاقتران المعطي

اطلع ايضا على:

مثال على متسلسلة فورييه (Fourier series)

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

How to find Fourier series (متسلسلة فورييه -1)

ايجاد متسلسلة فورييه عندما الاقتران زوجي - Find Fourier series

اثبات هل الدالة زوجية ام فردية - proving f(x) even or odd

صيغة متسلسلة فورييه - fourier series formula

أخر المواضيع من قسم : دوال خاصة Special Function

تعليقات

إرسال تعليق