نظريات ومبرهنات القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة

قابلية القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة Z

اذا كان a و b عددين في مجموعة الاعداد الصحيحة ، فأننا نقول ان a يقسم b اذا وجد عدد صحيح s بحيث b=(a)(s)

ويرمز لهذه الجملة بالرمز a|b . اي ان

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\a,b\in \mathbb{Z}\\a|b, \ \ \exists c\in \mathbb{Z}\ \ s.t. \ \ b=ac$
مثال :
نقول ان 3 تقسم 18 وتكتب 18|3 وذلك لان (6)3=18
4 تقسم 32 وتكتب 32|4 وذلك لان (8)4=32

نظرية :

اثبت ان لكل عدد صحيح a فان a|a

بما ان (1)a=a اذن اي عدد صحيح a يقسم نفسه
اثبت ان لكل عدد صحيح a فان 0|a
بما ان (0)zero=a اذن اي عدد صحيح يقسم الصفر

اثبت ان لكل عدد صحيح فان $1 |a$

بما ان (a)a=1 اذن اي العدد واحد صحيح يقسم اي عدد صحيح

اثبت ان اذا كان a|b فان a|bc لكل a,b,c اعداد صحيحة

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a|b,\ \ \exists \ s\in \mathbb{Z} \ \ \ s.t. \ \ \ b=(a)(s)$
بضرب الطرفين في c
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ b=(a)(s) \ \ \ \ s\in \mathbb{Z} \\bc=(a)(s)c, \ \ \ \ sc\in \mathbb{Z} \\bc=(a)(sc), \ \ \ \ sc\in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow \ \ a|bc$
اذن a يقسم حاصل ضرب bc

اثبت ان اذا كان a|b و b|c فان a|c

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ a|b, \ \ \exists \ s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=as \\ \\ b|c, \ \ \exists \ r\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ c=br\\$
باتعويض عن قيمة b من العلاقة الاولى في العلاقة الثانية
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\Rightarrow \ \ c=a(sr) , \ \ \ \ sr\in \mathbb{Z} \Rightarrow \ \ a|c$
اثبت ان اذا كان a|b و a|c فان a|(ax+cy) لكل x,y اعداد صحيحة

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ a|b \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=as\\a|c \ \ \ \exists r\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ c=ar\\$
بضرب العلاقة الاولى ب x والثانية ب y ثم الجمع
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\ bx=a(sx)\\ cy=a(ry)\\ \Rightarrow \ \ bx+cy=a(sx)+a(ry)\\\Rightarrow \ \ bx+cy=a(sx+ry)\\\Rightarrow \ \ a| bx+cy$
حيث ان bx+cy ينتمي الى الاعداد الصحيحة

اثبت ان اذا كان a|b و c|d فان ac|bd

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ a|b \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=as\\c|d \ \ \ \exists r\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ d=cr\\$
بضرب العلاقتين ينتج ان
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ bd=(as)(cr)\\ bd=(ac)(sr)\\\Rightarrow \ \ ac|bd$
حيث sr عدد صحيح

اثبت ان اذا كان m لا يساوي الصفر عندئذ a|b اذا وفقط اذا كان ma|mb

اولا اثبات ان اذا كان a|b فان ma|mb

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ a|b \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=as\\$
بالضرب في m
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\bm=(am)s\\\Rightarrow \ \ am|bm$
ثانيا نريد اثبات ان اذا كان ma|mb فان a|b
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ ma|mb \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ mb=mas\\mb-mas=0\\m(b-as)=0\\m\neq 0\\b-as=0\\b=as \\\Rightarrow \ \ a|b$

اثبت ان اذا كان d|a حيث a لا يساوي الصفر فان

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\left| d\right|\leq \left|a \right|$
من التعريف
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ d|a \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ a=ds\\$
بأخذ القيمة المطلقة
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ \left| a\right|=\left|ds \right| \\ \left| a\right|=\left|d \right| \left|s \right|\geq \left| d\right|\\$
وذلك لانه من خواص القيمة المطلقة وخواص العدد s فان
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ \left| s\right|\geq 1 \\$
او
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ \left| s\right|> 0 \\$

اثبت ان اذا كان a|b و b|a فان

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=\pm b$
من التعريف
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ a|b \ \ \ \exists s\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=as\\b|a \ \ \ \exists r\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ a=br\\$
بالتعويض عن قيمة b من العلاقة الاولى في العلاقة الثانية
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\a=(as)r\\ a=a(sr)$
نجد ان sr=1 وهذا يتحقق عندما s=r=1 او عندما s=r=-1
اذن
$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=\pm b$

مبرهنة :

اذا كان a يقسم كلا من
$b_1,b_2,b_3,...,b_n$
فان a يقسم كلا من
$b_1x_1,b_2x_2,b_3x_3,...,b_nx_n$
من التعريف
$https://latex.codecogs.com/svg.image? \\ a|b_i \ \ \ \exists y_i\in \mathbb{Z} \ \ s.t. \ \ b=ay_i\\$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\b_1=ay_1\\b_2=ay_2\\.....\\b_n=ay_n\\$

بضرب في x1 , x2 ...... xn والجمع

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\\b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=ay_1x_1+ay_2x_2+ay_3x_3+...+ay_nx_n\\b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=a(y_1x_1+ y_2x_2+ y_3x_3+...+ y_nx_n)\\ \\\Rightarrow \ \ a|b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n$

حيث

$https://latex.codecogs.com/svg.image? y_1x_1+ y_2x_2+ y_3x_3+...+ y_nx_n \in \mathbb{Z}$

اطلع ايضا على:

Number Theory: The Division Algorithm

منصة العلوم الرياضية

القائمة الرئيسية

الصفحات

نظريات ومبرهنات القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة

قابلية القسمة في مجموعة الاعداد الصحيحة Z

أخر المواضيع من قسم : مقالات واخبار علمية

تعليقات

إرسال تعليق