determinant of the matrix - العمليات على المحددات

اسئلة امتحانات سابقة بموضوع المحددات determinant of the matrix

Q1: Solve for x

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix} x& -1 \\ 3&1-x \\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 0 &-3 \\ 2& x &-6 \\1 & 3 &x-5 \\\end{vmatrix}$

الحل : مطلوب قيمة x التي تجعل المحددين متساويين

مفكوك المحدد determinant على الجهة اليسرى

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix}x & -1\\3 & 1-x \\\end{vmatrix}=x(1-x)-3\\\\= x^2-x-3$

مفكوك المحدد determinantعلى الجهة اليمنى

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \begin{vmatrix}1 & 0 & -3 \\2 & x & -6 \\1 & 3 & x-5 \\\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}x & -6 \\3 & x-5 \\\end{vmatrix} -3\begin{vmatrix}2 & x \\1 & 3 \\\end{vmatrix} \\\\=[x(x-5)+18]-3(6-x)=x^2-2x\\$

(المحدد الاول = المحدد الثاني) بمساواة المعادلتين

$https://latex.codecogs.com/svg.image? x^2-x-3=x^2-2x\\ \Rightarrow x=3$

قيمة x التي تجعل المحددين متساويين وللتاكد يمكن التعويض بالمحددات

Q2: Let

$https://latex.codecogs.com/svg.image? A=\begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ det (A)=6$

Find

$$det(3A),\ det(5A^{-1}), \ det((2A)^{-1})$$

الحل : المطلوب استخدام خواص المحدد ومعكوس محدد المصفوفة

$$det (3A)= 3^{3}\times -6=-162$$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? det (5A^{-1})= 5^{3}\times \frac{1}{-6}=-\frac{125}{6}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? det ((2A)^{-1})= (\frac{1}{2})^{3}\times \frac{1}{-6}=-\frac{1}{48}$

Q3: Prove the identity without evaluating the determinants

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix}a_1+b_1 &a_1-b_1 & c_1 \\ a_2+b_2& a_2-b_2 & c_2 \\a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \\\end{vmatrix}= -2\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2&b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \\\end{vmatrix}$

الحل : تحقق من المساواة بين المحددين بدون حل المحدد ات

باجراء عمليات الصف البسيطة row echelon form على المحدد في الطرف الايسر

العملية الاولى : ضرب العمود الاول بالعدد 1 والجمع مع العمود الثاني ( التغيير على العمود الثاني )

العملية الثانية : اخراج 2 مشترك من العمود الثاني

العملية الثالثة : ضرب العمود الثاني ب -1 وجمعة للعمود الاول

العملية الرابعة : تبديل العمود الاول والثاني

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{vmatrix}a_1+b_1 &a_1-b_1 & c_1 \\ a_2+b_2& a_2-b_2 & c_2 \\a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}\xrightarrow[]{(1)c_1+c2}\begin{vmatrix}a_1+b_1 &2a_1 & c_1 \\ a_2+b_2& 2 a_2 & c_2 \\a_3+b_3 &2 a_3 & c_3 \\\end{vmatrix}\\\\\\ \xrightarrow[]{(-1)c_2+c1}2\begin{vmatrix}a_1+b_1 &a_1 & c_1 \\ a_2+b_2& a_2 & c_2 \\a_3+b_3 &a_3 & c_3 \\\end{vmatrix} \xrightarrow[]{c_1\Leftrightarrow c_2}-2\begin{vmatrix}a_1 &b_1 & c_1 \\a_2& b_2 & c_2 \\a_3 &b_3 & c_3 \\\end{vmatrix}$

بدون حل المحدد وباستخدام عمليات الصف البسيطة row echelon form نجد ان المحددين متساويين

Q4 : Find the determinant

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & b &0 & 0 \\0 & 0 & 5 & 0 \\0 & 0 &0 & 2 \\\end{bmatrix} , \ \ \ \ \ \ where \ b \ is \ nonzero \ real \ \\\bullet det(A)\\\bullet det(A^-1)$