ملزمة الاوائل في الفيزياء للصف 12 العلمي للعام 2023-2024

اثبت ان مجموعة المتجهات في حالة استقلال اوارتباط الخطي 

Example (1)

 ?Are v1,v2,v3 Linearly independent

قرر فيما اذا كانت المتجهات التالية مستقلة خطيا ؟

\begin{equation} v_{1}=\begin{bmatrix} 2 \\ 2\\ 1\\ \end{bmatrix} ,v_{2}=\begin{bmatrix} -4 \\ 6\\ 5 \\ \end{bmatrix} ,v_{3}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}  \end{equation}

Solution

المتجهات مستقلة خطيا اذا كانت 

\begin{equation}\Rightarrow av_1+bv_2+cv_3=0\end{equation}

حيث a,b,c جميعها اصفار

\begin{equation} a\begin{bmatrix} 2 \\ 2\\ 1\\ \end{bmatrix} ,b\begin{bmatrix} -4 \\ 6\\ 5 \\ \end{bmatrix} ,c\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} \end{equation}

من المعادلة الاخيرة يمكن تكوين نظام من المعادلات الخطية المتجانسة وبالتالي فان (المصفوفة الممتدة) augmented matrix is لهذا النظام هي 

\begin{equation} \begin{bmatrix} 2 & -4 &1 & 0 \\ 2& 6 & 0 &0 \\ 1& 5 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow[]{rrf} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 & \\ \end{bmatrix}\end{equation}

قمنا بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام  ثم اجرينا عمليات الصف البسيطة (reduced row echelon form)من خلال حل النظام نحصل فقط على الحل التافه (treavial solution)

 \begin{equation}\Rightarrow a=0,b=0,c=0\end{equation}

اي ان المتجهات v1,v2,v3 مستقلة خطيا

Example (2)

 ?Are v1,v2,v3 Linearly dependent

قرر فيما اذا كانت المتجهات التالية مرتبطة خطيا ؟

\begin{equation} v_{1}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1\\ -2\\ \end{bmatrix} ,v_{2}=\begin{bmatrix} 3 \\ 4\\ 5 \\ \end{bmatrix} ,v_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 5\\ 16\\ \end{bmatrix}  \end{equation}

Solution

المتجهات مرتبطة خطيا اذا كانت 

\begin{equation}\Rightarrow av_1+bv_2+cv_3=0\end{equation}

حيث a,b,c ليس جميعها اصفار (يوجد حل للنظام غير الحل التافه)

\begin{equation} a\begin{bmatrix} 2 \\ 1\\ -2\\ \end{bmatrix} ,b\begin{bmatrix} 3\\4\\ 5\\ \end{bmatrix} ,c\begin{bmatrix} 0\\ 5\\ 16\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} \end{equation}

من المعادلة الاخيرة يمكن تكوين نظام من المعادلات الخطية المتجانسة وبالتالي فان (المصفوفة الممتدة) augmented matrix is لهذا النظام هي 

\begin{equation} \begin{bmatrix} 2& 3&0& 0 \\ 1& 4&5&0 \\ -2& 5& 16& 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow[]{rrf} \begin{bmatrix} 1 & 0& -3& 0 \\ 0& 1& 2& 0 \\ 0& 0 & 0& 0 & \\ \end{bmatrix}\end{equation}

قمنا بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام  ثم اجرينا عمليات الصف البسيطة (reduced row echelon form) من خلال حل النظام نجد ان

 \begin{equation}\Rightarrow a=3c,b=-2c,c=t\end{equation}

اي ان المتجهات v1,v2,v3 مرتبطة خطيا وذلك لان للنظام عدد لا نهائي من الحلول 

اطلع ايضا على:

• عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة "